Умножение и деление степеней

Зачем уметь умножать и делить степени?

Умение умножать степени важно в математике, т.к. оно помогает быстро вычислять произведения и деления многих чисел со степенями, что может быть полезно в решении различных задач, таких как вычисление площади, объема или поверхности фигур, вычисление значений функций и т.д.

Умножение и деление степеней может использоваться в различных областях математики и науки, таких как:

• Алгебра: для умножения и деления многочленов, вычисления различных формул и выражений.
• Геометрия: для вычисления площади, объема или поверхности фигур, расчета расстояний и углов.
• Физика: для вычисления силы, энергии, давления и т.д.
• Информатика: для вычисления сложности алгоритмов, мощности вычислительных систем и т.д.
• Другие науки: в экономике, биологии, медицине и других областях умножение и деление степеней используется для вычисления различных показателей и метрик.

Кроме того, если вы любите поддерживать в тонусе свой мозг, вам тоже очень пригодится умение работать со степенями, потому что оно позволит решать намного больше интересных примеров и задач. Естественно, это навык крайне важен в школе и институте, ведь от него в большой степени зависит успеваемость учащегося.

Умение умножать и делить степени пригодится школьнику и студенту, а также любому человеку, чья деятельность связана с вычислениями. А прежде, чем учиться умножать и делить степени, важно усвоить несколько базовых основ.

Что такое степенные выражения?

Первое определение степени гласит, что степень n для числа a – это произведение множителей, равных величине a, взятой n раз.

Возьмем, например, aⁿ. Здесь a является основанием степени, а n определяет показатель этой степени.

Исходя из этого, можно получить формулу:

aⁿ = a × a × a … × a

А сама запись так и читается: a в степени n.

Можно сказать проще: степень (конкретно ее показатель) указывает на то, сколько раз нужно умножить основание степени само на себя.

Есть также и второе определение степени, согласно которому, степенное выражение – это выражение, в составе которого имеется степень.

В принципе, все просто, но перед освоением действий со степенными выражениями важно запомнить свойства степеней.

Свойства степеней

Если вы хотите грамотно и правильно работать со степенями, нужно раз и навсегда запомнить пять их свойств:

1. Произведение степеней. В случае, когда у степеней, которые нужно умножить, имеются одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатели степеней суммируются. К примеру, aⁿ × a^m = a^{n + m}. Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
2. Частное степеней. Если делятся степени, имеющие одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатель степени делимого уменьшается на показатель степени делителя. К примеру, a^m/aⁿ = a^{m - n}. Основанием степени тут является a, а m и n являются показателями степени в виде натуральных чисел, и при этом m > n.
3. Возведение степени в степень. Если степень возводится в степень, основание остается неизменным, а показатели перемножаются. К примеру, (aⁿ)^m = a^nm. Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
4. Степень произведения. Если требуется возвести в степень произведение, все множители возводятся в эту степень. Полученные результаты перемножаются. К примеру, (a × b)ⁿ = aⁿ х bⁿ. Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.
5. Степень частного. Если требуется возвести в степень частное, в эту степень нужно по отдельности возвести делимое и делитель. Первый полученный результат делится на второй. К примеру, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.

Запомнив эти правила, можно переходить к действиям со степенями.

Умножение степеней

Первое правило умножения степеней гласит, что при умножении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно умножить между собой их основания, а показатель остается неизменным.

Формула:

aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ

Пример:

a³ × b³ = (a × a × a)(b × b × b) = (a × b)³ = (ab)(ab)(ab) = (ab)³

3⁵ × 4⁴ = (3 × 4)⁵ = 12⁵ = 248832

16a² = 4² × a² = (4a)²

Второе правило умножения степеней гласит, что при поиске произведения степеней, обладающих одинаковыми основаниями, складываются показатели степеней.

Формула:

aⁿ × a^m = a^{n + m}

 Пример:

3⁵ × 3³ = 3^{5 + 3} = 3⁸ = 6561

2⁸ × 8¹ = 2⁸ × 2³ = 2¹¹ = 2048

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, и какое-либо одно основание не получается преобразовать в число со степенью, как у второго числа, нужно по отдельности возвести в степень каждое число, а затем сложить два результата. Например: 3⁴ х 4³ = 81 + 64 = 145.

Деление степеней

Первое правило деления степеней гласит, что при делении степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями нужно найти разность их показателей, а основание остается неизменным.

Формула:

a^m/aⁿ = a^{n– m} (не забывайте, что n > m)

Пример:

(11³ х 4⁴)/(11 х 4³) = 11^{3 – 1} х 4^{4 – 2} = 11² х 4² = (11 х 4)² = 1936

2a⁴/2a³ = 2a^{4 – 3} = 2a

Второе правило деления степеней гласит, что при делении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно возвести результат частного имеющихся чисел в эту степень.

Формула:

aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Пример:

5¹²/3¹² = (5/3)¹²

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, нужно возвести в степень каждое число, а после этого разделить результаты. Например: 3³/5² = 27/25 = 1,08.

Чтобы было проще усвоить умножение и деление степеней, вы также можете запомнить несколько важных теорем, касающихся все рассмотренных нами операций.

Основные теоремы

Всего есть пять теорем, которые требуют внимания:

• Теорема 1. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство a^{n ×} a^m = a^{n + m}. Умножая степени с одинаковыми основаниями, вы складываете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 2. Для любого числа a и любых натуральных чисел n и m (при этом n > m) будет справедливым равенство aⁿ/a^m = a^{n – m}. Деля степени с одинаковыми основаниями, вы отнимаете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 3. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство (aⁿ)^m = a^nm.

Имейте в виду, что эти три теоремы относятся к степеням с одинаковыми основаниями, а далее мы рассмотрим теоремы для степеней с одинаковыми показателями.

• Теорема 4. Для любых чисел a и b и любого натурального числа n будет справедливым равенство aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ. Перемножая степени с одинаковыми показателями, просто перемножьте их основания, а показатель оставьте без изменений.
• Теорема 5. Для любых чисел a и b (при условии, что b ≠ 0) и любого натурального числа n будет справедливым равенство aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ. Деля друг на друга степени с одинаковыми показателями, просто разделите одно основание на другое, а показатель оставьте без изменений.

Несложно увидеть, что расчеты со степенями не вызывают особых трудностей. Чтобы научиться умножать и делить степени, нужно лишь немного попрактиковаться и наработать навык. После этого подобные примеры и задания вы сможете щелкать, как орешки.